Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=BD．
（1）若∠ABD=

3

2

∠ADB，求∠BDC的度数；
（2）若AD=10，cot∠C=

1

2

，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

考点：梯形,解直角三角形

专题：

分析：（1）利用平行线的性质得出，∠ABD+∠ADB=90°，进而设∠ADB=x，则∠ABD=

3

2

x，求出x的值，进而得出∠BDC的度数；
（2）利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出EC的长，再利用梯形面积公式得出答案．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ABD=

3

2

∠ADB，
∴设∠ADB=x，则∠ABD=

3

2

x，
故x+

3

2

x=90，
解得：x=36，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=

180°-36°

2

=72°；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，
∵cot∠C=

1

2

，
∴

EC

DE

=

1

2

，
设EC=y，则DE=2y，
∵∠A=∠ABC=∠BED=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=DE=2y，ad=be=10，则BD=BC=y+10，
故在Rt△ABD中，
AB²+AD²=BD²，
即（2y）²+10²=（y+10）²，
解得：y₁=0（不合题意舍去），y₂=

20

3

，
故2y=

40

3

，
则梯形ABCD的面积为：

1

2

×（AD+BC）×ED=

1

2

×（10+10+

20

3

）×

40

3

=

1600

9

．

点评：此题主要考查了梯形面积求法以及勾股定理和平行线的性质等知识，得出EC的长是解题关键．