Question

1．已知：如图，点D是△ABC内的一点，且满足BD=CD，∠ABD=∠ACD．求证：
（1）AB=AC；
（2）AD⊥BC．

Answer 1

分析 （1）首先根据BD=CD得到∠DBC=∠DCB，结合题干条件即可得到∠ABC=∠ACB，于是得到AB=AC；
（2）延长AD交BC于点E．先证明△ABD≌△ACD，进而得到∠DAB=∠DAC，利用等腰三角形的三线合一的知识得到结论．

解答 证明：（1）∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
又∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
（2）延长AD交BC于点E．
在△ABD和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠ABD=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠DAB=∠DAC，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
即AD⊥BC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质以及利用SAS证明两个三角形全等，此题难度不大．