Question

1．已知：如图，在△ABC中，点A₁、B₁、C₁分别是BC、AC、AB的中点，A₂、B₂、C₂分别是B₁C₁、A₁C₁、A₁B₁的中点，以此类推…，若△ABC的周长为1，则△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅的周长为$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 由三角形的中位线定理得：A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁分别等于BC、CA、AB的一半，所以△A₁B₁C₁的周长等于△ABC的周长的一半，以此类推可求出△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅的周长．

解答 解：∵A₁、B₁、C₁分别为BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁分别等于BC、CA、AB的$\frac{1}{2}$，
∵A₂、B₂、C₂分别为B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁分别为A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，
∴以此类推：△A₄B₄C₄的周长为△ABC的周长的$\frac{1}{2}$，
∴△A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅=$\frac{1}{{2}^{2015}}$×1=$\frac{1}{{2}^{2015}}$．
则故答案为：$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．