Question

1．观察下列各式：
1×2×3×4+1=5²；
2×3×4×5+1=11²；
3×4×5×6+1=19²；
判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．

Answer 1

分析 此题可以先假设正确，再用任意四个连续正整数之积加上1进行因式分解，看能否得到一个正整数的平方即可．

解答 解：任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方．理由如下：
设四个连续的正整数为n、（n+1）、（n+2）、（n+3），
则n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．

点评 本题考查了因式分解的应用，关键是能够用代数式把题中所说的关系式列出来，然后通过运算写成完全平方式的形式，即可证明结论正确．难点在于多项式乘以多项式的运算后，如何化为完全平方式．