Question

20．已知实数a，b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，试求a-b的值．
解：∵a+b=8，ab=15，∴（a+b）²=a²+2ab+b²=64．
∴a²+b²=34，∴（a-b）²=a²-2ab+b²=34-2×15=4．
∵a＞b，∴a-b=$\sqrt{4}$=2．  请仿照上面的解题过程，解答下面问题：
已知实数x，$\frac{1}{x}$满足x+$\frac{1}{x}$=4且0＜x＜1，试求x-$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 求出x＜$\frac{1}{x}$，根据完全平方公式求出x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值，再求出（x-$\frac{1}{x}$）²的值，即可得出答案．

解答 解：∵0＜x＜1，
∴x＜$\frac{1}{x}$，
∵x+$\frac{1}{x}$=4，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=x²+2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=16，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²=x²-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14-2=12，
∴x-$\frac{1}{x}$=-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了完全平方公式的应用，能正确利用公式进行变形是解此题的关键，注意：完全平方公式有：①a²-2ab+b²=（a-b）²，②a²-2ab+b²=（a-b）²．