Question

12．△ABC面积为S，AD=DE=EC，BG=GF=FC，AG，AF与BD，BE分别交于M，N，P，Q，连接EF．
（1）证明：EF∥AB；
（2）计算四边形MNPQ的面积（用含S的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由AD=DE=EC，BG=GF=FC，可得出$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CF}{CB}$，即可得出EF∥AB；
（2）设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD，设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y，得出△NGB的面积，设△PCF的面积为u，△PCE的面积为v，得出四边形PECF的面积是$\frac{1}{6}$S，可求出S_{四边形NGFP}，设△ADQ的面积为c，△QBF的面积为d，可得△QBF的面积为$\frac{8}{21}$S，利用以正面积式子可得S_{四边形MNPQ}=S_△QBF-S_△MGB-S_{四边形NGFP}，即可求解．

解答 解：（1）如图，连接EF，

∵AD=DE=EC，BG=GF=FC，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{CF}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF∥AB；
（2）如图1，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD，

设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y
∵△ABC的面积是S，且AD=DE=EC，BG=GF=FC，
∴△BCE，△ACF的面积是$\frac{1}{3}$S，△ACG的面积是$\frac{2}{3}$S
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=\frac{1}{3}S}\\{2x+3y=\frac{2}{3}S}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{21}S}\\{y=\frac{4}{21}S}\end{array}\right.$
∴△NGB的面积是$\frac{1}{21}$S，
设△PCF的面积为u，△PCE的面积为v，则有$\left\{\begin{array}{l}{3u+v=\frac{1}{3}S}\\{u+3v=\frac{1}{3}S}\end{array}\right.$
∴4（uu+v）=$\frac{2}{3}$S，即uu+v=$\frac{1}{6}$S，即四边形PECF的面积是$\frac{1}{6}$S，
∴S_{四边形NGFP}=$\frac{1}{3}$S-$\frac{1}{21}$S-$\frac{1}{6}$S=$\frac{5}{42}$S，
如图2，

设△MGB的面积为a，△MAD的面积为b，
$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=\frac{2}{3}S}\\{2a+3b=\frac{2}{3}s}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{15}S}\\{b=\frac{2}{15}s}\end{array}\right.$，
∴△MGB的面积为$\frac{2}{15}$S，
如图3，

设△ADQ的面积为c，△QBF的面积为d，
$\left\{\begin{array}{l}{3c+\frac{1}{2}d=\frac{1}{3}S}\\{2c+\frac{3}{2}d=\frac{2}{3}S}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{1}{21}S}\\{d=\frac{8}{21}S}\end{array}\right.$，
∴△QBF的面积为$\frac{8}{21}$S，
∴S_{四边形MNPQ}=S_△QBF-S_△MGB-S_{四边形NGFP}=$\frac{8}{21}$S-$\frac{2}{15}$S-$\frac{5}{42}$S=$\frac{9}{70}$S．

点评 此题主要考查了面积及等积变换，涉及平行线的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形的面积列出方程组．