在数学活动课上.两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究.下面是他们的交流片段．小聪:我画了抛物线y=(x-a)2+$\frac{a}{3}$.当a=-1.a=0.a=1.a=2时二次函数的图象,当a取不同的值时.其图象构成一个“抛物线系．小明:我发现这些抛物线的顶点竟然在同一条直线上．问题解决:(1)试写出小明发现的“抛物线系 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在数学活动课上，两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究，下面是他们的交流片段．
小聪：我画了抛物线y=（x-a）²+$\frac{a}{3}$（a为常数），当a=-1、a=0、a=1、a=2时二次函数的图象；当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．
小明：我发现这些抛物线的顶点竟然在同一条直线上．
问题解决：
（1）试写出小明发现的“抛物线系”的顶点所在直线的函数解析式；
（2）当a=0时，抛物线上有点P（2，m）．将此抛物线沿着（1）中的直线平移，记抛物线顶点O与点P平移后的对应点分别为O₁、P₁．若四边形POO₁P₁是菱形，求平移后二次函数的解析式．

分析（1）根据顶点坐标公式，可得相应的顶点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据顶点坐标公式，可得O₁点坐标，根据菱形的邻边相等，可得O₁的坐标，根据顶点式函数解析式，可得答案．

解答解：（1）当a=0时，顶点坐标为（0，0），
当a=1时，顶点坐标为（1，$\frac{1}{3}$），
设顶点所在的直线为y=kx+b，
将（0，0），（1，$\frac{1}{3}$）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{k+b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
“抛物线系”的顶点所在直线的函数解析式y=$\frac{1}{3}$x；
（2）如图，
当a=0时，抛物线的解析式为y=x²，顶点坐标为O（0，0），
当x=2时，m=2²=4，即P（2，4）．
平移后的解析式为y=（x-a）²+$\frac{a}{3}$（a为常数），顶点坐标O₁（a，$\frac{a}{3}$）．
由四边形POO₁P₁是菱形，得
OP=OO₁，即$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{3}）^{2}}$，
化简，得a²=18，
解得a=3$\sqrt{2}$，或a=-3$\sqrt{2}$，
当a=3$\sqrt{2}$时，平移后的解析式为y=（x-3$\sqrt{2}$）²+$\sqrt{2}$；
当a=-3$\sqrt{2}$时，平移后的解析式为y=（x+3$\sqrt{2}$）²-$\sqrt{2}$．