Question

如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．

（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm／s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．

①当t=4时，求PH的长．

②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．

Answer 1

（1）作图见解析；（2）4；（3）PH=或PH=2或PH=3．（4）当0≤t＜4或t=5或t=8时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．

【解析】

试题分析：（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点就是A，B两点在CD上的勾股点；

（2）当矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，此时以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点；

（3）①如图，当t=4时，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三种情况：当∠MHN=90°时，根据已知条件可以证明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形对应线段成比例即可求出PH；当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4-x，根据勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，依次即可求出PH''；当∠H'MN=90°时，根据勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．

②利用①的结果可以探究满足条件的点H的个数及相应t的取值范围．

试题解析：（1）如图，以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点E就是所勾股点；

（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，

∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；

（3）①如图，当t=4时，PM=8-4=4，QN=5-4=1，

当∠MHN=90°时，

∵∠MPH=∠HQN=90°，

∴△PMH∽△QHN，

∴PH：QN=PM：HQ，

而PH+HQ=BC=4，

∴PH=2；

当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4-x

依题意得PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，

而MN==5，

∴PH=；

当∠H'MN=90°时，QH'2+QN2-（H'P2+PM2）=MN2，

而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，

∴PH=3．

∴PH=或PH=2或PH=3．

②当0≤t＜4时，有2个勾股点；

当t=4时，有3个勾股点；

当4＜t＜5时，有4个勾股点；

当t=5时，有2个勾股点；

当5＜t＜8时，有4个勾股点；

当t=8时，有2个勾股点．

综上所述，当0≤t＜4或t=5或t=8时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．

考点：1.勾股定理；2.相似三角形的判定与性质．