题目内容
12．已知如图．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l：y=kx-1与两坐标轴分别交于A，B，若OB=2OA，点P是第一象限内直线l上的点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为C，D．（1）求点A的坐标及k的值；
（2）设点P的横坐标为x，四边形OCPD的面积为y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）若四边形OCPD的面积为1，点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形，求点Q的坐标．
分析 （1）根据直线l的解析式为y=kx-1，求出A（$\frac{1}{k}$，0），B（0，-1），根据OB=2OA，求出k的值及点A的坐标；
（2）根据点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，可得P（x，2x-1），x＞$\frac{1}{2}$，再根据矩形面积公式即可求解；
（3）根据四边形OCPD的面积为1，求出P的坐标为（1，1），利用两点间的距离公式求得OP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，再分三种情况进行讨论：①OQ=OP=$\sqrt{2}$；②PO=PQ；③QO=QP．
解答 解：（1）∵y=kx-1，
∴当y=0时，kx-1=0，x=$\frac{1}{k}$，
∴A（$\frac{1}{k}$，0），OA=$\frac{1}{k}$，
当x=0时，y=-1，
∴B（0，-1），OB=1．
∵OB=2OA，
∴2×$\frac{1}{k}$=1，
∴k=2，
∴A（$\frac{1}{2}$，0）；
（2）∵直线l：y=2x-1，点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，
∴P（x，2x-1），x＞$\frac{1}{2}$，
∴OC=x，CP=2x-1，
∴y=OC•CP=x（2x-1）=2x2-x，
即y=2x2-x（x＞$\frac{1}{2}$）；
（3）∵四边形OCPD的面积为1，
∴2x2-x=1，
∴x1=1，x2=-$\frac{1}{2}$（不合题意舍去），
∴P（1，1），OP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
如图，当点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形时，分三种情况：
①如果OQ=OP=$\sqrt{2}$，那么Q1（$\sqrt{2}$，0）；
②如果PO=PQ，那么P在线段OQ的垂直平分线上，Q2（2，0）；
③如果QO=QP，那么Q在线段OP的垂直平分线上．
∵P（1，1），
∴直线OP的解析式为y=x，线段OP的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
设线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+b，
将（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入，得$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$+b，解得b=1，
∴线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+1，
∴y=0时，-x+1=0，解得x=1，
∴Q3（1，0）．
综上所述，所求点Q的坐标为Q1（$\sqrt{2}$，0），Q2（2，0），Q3（1，0）．
点评 本题是一次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，两点间的距离公式，互相垂直的两直线斜率之积为-1的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论以及数形结合是解题的关键．
如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为$\frac{1}{3}$（即tan∠PAB=$\frac{1}{3}$），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．