Question

1．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为$\frac{1}{3}$（即tan∠PAB=$\frac{1}{3}$），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

Answer 1

分析 在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．

解答 解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，
∴CO=AO•tan60°=200$\sqrt{3}$（米）

（2）设PE=x米，
∵tan∠PAB=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=3x．
在Rt△PCF中，
∠CPF=45°，CF=200$\sqrt{3}$-x，PF=OA+AE=200+3x，
∵PF=CF，
∴200+3x=200$\sqrt{3}$-x，
解得x=50（$\sqrt{3}$-1）米．
答：电视塔OC的高度是200$\sqrt{3}$米，所在位置点P的铅直高度是50（$\sqrt{3}$-1）米．

点评 考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．