Question

19．已知，如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，过点O作⊙O的半径OD⊥AE于点C，延长交⊙O于点D，连BE并延长，过点D作DF⊥BE于点F，交BA的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AE=8，则tan∠DBF=$\frac{1}{2}$；
（3）判断线段AB、BF、EF的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）欲证明DF是⊙O的切线，只要证明OD⊥DF即可；
（2）在Rt△BDF中，根据tan∠DBF=$\frac{DF}{BF}$求解即可；
（3）结论：AB=EF+BF．作DM⊥AB于M，连接AD、DE．只要证明Rt△BDM≌△BDF，Rt△DMA≌△DFE即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠F=90°，
∴∠AEB=∠F=90°，
∴AE∥FG，
∵OD⊥AE，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．

（2）解：∵OD⊥AE，
∴AC=CE=4，∵OA=OB，
∴BE=2OC=6，
在Rt△AOC中，OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠CEF=∠DCE=∠F=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF=4，CD=EF=2，
∴BF=BE+EF=8，
∴tan∠DBF=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{1}{2}$．

（3）解：结论：AB=BF+EF．
理由：作DM⊥AB于M，连接AD、DE．
∵OD⊥AE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABD=∠DBF，AD=DE，
∵DM⊥BA，DF⊥BF，
∴DM=DF，
∵BD=BD，
∴Rt△BDM≌△BDF，Rt△DMA≌△DFE，
∴AM=EF，BM=BF，
∴AB=AM+BM=EF+BF．

点评 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．