Question

10．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，其中点B的坐标为（1，0），若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是-1＜k＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．

解答 解：由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+k}\end{array}\right.$，
消掉y得：x²-x+k=0，
△=b²-4ac=（-1）²-4×1×k=0，
即k=$\frac{1}{4}$时，抛物线与OA有一个交点，
∵点B的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∴点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（1，0）时，1+k=0，
解得k=-1，
∴要使抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是-1＜k＜$\frac{1}{4}$，
故答案为：-1＜k＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．