Question

18．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC=α，∠BPC=β，则∠BQC=$\frac{1}{2}$（α+β）．（用α，β表示）

Answer 1

分析 连接BC，根据角平分线的性质得到∠3=$\frac{1}{2}∠$ABP，∠4=$\frac{1}{2}∠$ACP，根据三角形的内角和得到∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，求出∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（β-α），根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3=$\frac{1}{2}∠$ABP，∠4=$\frac{1}{2}∠$ACP，
∵∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（β-α），
∵∠BQC=180°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=180°-（180°-β）-$\frac{1}{2}$（β-α），
即：∠BQC=$\frac{1}{2}$（α+β）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（α+β）．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．