Question

1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AN是过A的一条直线，且BM⊥AN于M，CN⊥AN于N．
（1）求证：AM=CN；
（2）求证：MN=BM-CN．

Answer 1

分析 （1）先根据垂直的定义得到∠AMB=∠CNA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABM=∠CAN，则可利用“AAS”判断△ABM≌△CAN，所以AM=CN；
（2）由（1）得出AM=CN，BM=AN，于是有MN=BM-CN．

解答 证明：（1）∵BM⊥AN于M，CN⊥AN于N，
∴∠AMB=∠CNA=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAM+∠CAN=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CAN}\\{∠ABM=∠CNA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM=CN；
（2）∵△ABM≌△CAN，
∴AM=CN，BM=AN，
∴MN=BM-CN．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．