Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长．

Answer 1

考点：勾股定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：先分类讨论：（1）AB=BD，（2）AB=AD，（3）AD=BD，分别计算CD的值，即可解题．

解答：解：（1）如图1所示，当AB=BD时，作DE⊥BE，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
在△BED和△ACB中，

∠E=∠ACB=90° ∠CAB=∠DBE AB=BD

，
∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE=AC=4，DE=BC=2，
∴CD=

62+22

=2

10

；
（2）如图2所示，当AB=AD时，作DE⊥AE，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△DEA和△ACB中，

∠E=∠ACB=90° ∠ABC=∠DAE AB=AD

，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CD=

62+42

=2

13

；
（3）如图3所示，当AD=BD时，作DE⊥AC，DF⊥CB延长线于F，
∵∠ADE+∠BDE=90°，∠BDF+∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，

∠F=∠AED=90° ∠ADE=∠BF AD=BD

，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE=BF，
∴AC+BC=AE+CE+CF-BF=2CE．
∴CE=3，
∴CD=3

2

．
综上所述，CD的长是2

10

或3

2

或2

3

；

点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．