Question

阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算

13

的近似值．
小明的方法：
∵

9

＜

13

＜

16

，
设

13

=3+k（0＜k＜1）．
∴(

13

)2=(3+k)2．
∴13=9+6k+k²．
∴13≈9+6k．
解得 k≈

4

6

．
∴

13

≈3+

4

6

≈3.67．
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算

31

的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算

m

的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜

m

＜a+1，且m=a²+b，则

m

≈

 

（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算

57

的近似值为：

 

．

Answer 1

考点：估算无理数的大小

专题：阅读型

分析：（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出

31

=6+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
（3）把a换成7，b换成8代入公式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵

25

＜

31

＜

36

，
设

31

=5+k（0＜k＜1），
∴（

31

）²=（5+k）²，
∴31=25+10k+k²，
∴31≈25+10k．
解得k≈

6

10

，
∴

31

≈5+

6

10

≈5+0.6=5.6；

（2）设

m

=a+k（0＜k＜1），
∴m=a²+2ak+k²≈a²+2ak，
∵m=a²+b，
∴a²+2ak=a²+b，
解得k=

b

2a

，
∴

m

≈a+

b

2a

；

（3）

57

≈7+

8

14

≈7.57．

点评：本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题．