Question

12．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）写出求图中阴影部分的面积的思路．（不求计算结果）

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，再证明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根据切线的判定定理可判断DF为⊙O的切线；
（2）利用等边三角形的性质得到AB=AC=4，∠C=60°，则CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定义可计算出DF；
（3）连接OE，如图，根据扇形的面积公式，利用S_阴影部分=S_梯形ODFE-S_扇形DOE进行计算．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB=AC=4，∠C=60°，
∵AO=AD=2，
∴CD=2，
在Rt△CDF中，∵sinC=$\frac{DF}{CD}$，
∴DF=2sin60°=$\sqrt{3}$；
（3）解：连接OE，如图，
∵CF=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴EF=CE-CF=1，
∴S_阴影部分=S_梯形ODFE-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$（1+2）•$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．