Question

已知直线ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是正整数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与 x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（O是平面直角坐标系的原点）的面积为s₁；当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为s₂，…，依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求△A₁OB₁的面积s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₉的值．

Answer 1

分析：（1）求出直线与X、Y轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
（2）由（1）知：S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

2

×（1-

1

2

），同理求出S₂=

1

2

×（

1

2

-

1

3

），S₃=

1

2

（

1

3

-

1

4

），…S₂₀₀₉=

1

2

×（

1

2009

-

1

2010

），代入S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉求出即可．

解答：解：（1）y=-2x+1，
当x=0时，y=1，
当y=0时，x=

1

2

，
∴S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
答：△A₁OB₁的面积s₁是

1

4

．

（2）由（1）知：S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

2

×（1-

1

2

），
同理求出S₂=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

2

×（

1

2

-

1

3

），
S₃=

1

2

（

1

3

-

1

4

），
…
S₂₀₀₉=

1

2

×（

1

2009

-

1

2010

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

），
=

1

2

×（1-

1

2010

）=

2009

4020

，
答：s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₉的值是

2009

4020

．

点评：本题主要考查对三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据计算得出规律是解此题的关键．