Question

已知直线ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是正整数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与 x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（O是平面直角坐标系的原点）的面积为s₁；当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为s₂，…，依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求△A₁OB₁的面积s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）令n=1，求出直线l₁与y轴的交点，再根据三角形的面积公式进行解答；
（2）分别令n=1，n=2求出直线l₁、l₂与y轴的交点及直线与y轴所围成的三角形的面积，找出规律即可得出S_n的值．

解答：解：（1）当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与 x轴和y轴的交点是A₁（

1

2

，0）和B₁（0，1）
所以OA₁=

1

2

，OB₁=1，
∴s₁=

1

4

；

（2）当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与 x轴和y轴的交点是A₂（

1

3

，0）和B₂（0，

1

2

）
所以OA₂=

1

3

，OB₂=

1

2

，
∴s₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

2

×(

1

2

-

1

3

)
当n=3时，直线l3：y3=-

4

3

x+

1

3

与 x轴和y轴的交点是A₃（

1

4

，0）和B₃（0，

1

3

）
所以OA₃=

1

4

，OB₃=

1

3

，
∴s₃=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

2

(

1

3

-

1

4

)
依此类推，s_n=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₁₁=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

)
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₁₁=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

2012

)
=

1

2

×

2011

2012

=

2011

4024

．

点评：本题考查的是一次函数的性质及三角形的面积公式，根据题意分别求出S₁、S₂、S₃的值是解答此题的关键．