Question

已知直线ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂；…依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，S₁+S₂+…+S₂₀₀₉的值是

 

．

Answer 1

分析：分别求得△A₁OB₁，△A₂OB₂，以及△AnBnCn的面积，总结规律．即可求得．

解答：解：y=-2x+1中分别令y=0，x=0，解得：x=1，y=

1

2

，即直线与x轴和y轴交点A₁和B₁，分别是（1，0）（0，

1

2

）．则△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为

1

2

×1×

1

2

．
同理△A₂OB₂的面积为：

1

2

×

1

2

×

1

3

；
△AnBnCn的面积是

1

2

×

1

n

×

1

n+1

．
则S₁+S₂+…+S₂₀₀₉的值

1

2

×1×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

3

+…+

1

2

×

1

2009

×

1

2010

=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

1

2

（1-

1

2010

）
=

2009

4020

点评：正确求出各个三角形的面积是重点，求

1

2

×1×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

3

+…+

1

2

×

1

2009

×

1

2010

的值是解决本题的关键．