Question

已知直线ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂，…，
依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求设△A₁OB₁的面积S₁；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值．

Answer 1

分析：（1）因为当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，所以分别令y=0，x=0，即可求出A₁和B₁的坐标，从而求出△A₁OB₁的面积S₁；
（2）要求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值，需要找出S_n的规律，因为n=2时，y₂=-

3

2

x+

1

2

，所以分别令y=0，x=0即可求出A₂（

1

3

，0），同理可求出A₂，A₃…所以推出当n=n时，y_n=-

n+1

n

x+

1

n

，分别令y=0，x=0，即可求出A_n（

1

n+1

，0），B_n（0，

1

n

），所以S_n=

1

2

×

1

n+1

×

1

n

，整理即可求出答案．

解答：解：（1）∵y₁=-2x+1，
∴A₁（

1

2

，0），B₁（0，1），
∴S₁=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

；

（2）∵y₂=-

3

2

x+

1

2

，
∴A₂（

1

3

，0），B₂（0，

1

2

）
故S₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

，
∵y₃=-

4

3

x+

1

3

，
∴A₃（

1

4

，0），B₃（0，

1

3

），
故S₃=

1

2

×

1

4

×

1

3

，
…
∵y_n=-

n+1

n

x+

1

n

，
∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（0，

1

n

），
故S_n=

1

2

×

1

n+1

×

1

n

，
∵

1

n

×

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₁+S₂+…+S₆=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

6×7

）
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

6

-

1

7

）]=

1

2

（1-

1

7

）=

3

7

．

点评：本题是一道推理性极强的题目，主要考查一次函数的基本的性质及特殊点的坐标，解题的关键是寻找规律．