Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx+c过原点O、点A （2，-4）、点B （3，-3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；
（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）将原点O、点B、点C的坐标代入求得a、b、c的值即可；
（2）先求得直线AB的解析式，然后可求得点D的坐标，于是得到AF=DF，由两点间的距离公式可求得AB、AD的长，由等腰三角形的性质可证明∠GAB=∠ODA，故此$\frac{AG}{AB}=\frac{DA}{OD}$时，△GBA∽△AOD．接下来依据关系式可求得AG的长，从而可求得点G的坐标；
（3）如图1所示：BM与AF的交点记为G．先证明△GBA∽△AOD，由相似三角形的性质可求得AG的长，于是得到点G的坐标，然后依据待定系数法可求得BM的解析式；如图2所示：MB与x交点记为G．先证明△FBD∽△AOD，由相似三角形的性质可求得DG的长，从而得到点G的坐标，然后依据待定系数法可求得MB的解析式

解答 解：（1）∵将原点O、点B、点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=-4}\\{9a+3b+c=-3}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-4，c=0，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将点A（2，-4）、B（3，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{3k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-6，
∴直线AB的解析式为y=x-6．
∵令y=0得x-6=0，解得：x=6，
∴D（6，0）．
∴OD=6．
∵AF⊥x轴，（2，-4），
∴F（2，0）．
∴AF=4，DF=4．
∴AF=DF．
∴∠GAB=∠ODA．
∴当$\frac{AG}{AB}=\frac{DA}{OD}$时，△GBA∽△AOD．
∵由两点间的距离公式可知AB=$\sqrt{（3-2）^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{（6-2）^{2}+（0+4）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AG}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}$，解得；AG=$\frac{4}{3}$．
∴G（2，-$\frac{8}{3}$）．
（3）如图1所示：BM与AF的交点记为G．

∵∠BMN=∠OAF，∠A=∠ODA，
∴△GBA∽△AOD．
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{DA}{OD}$，即$\frac{AG}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}$，解得；AG=$\frac{4}{3}$．
∴G（2，-$\frac{8}{3}$）．
设直线BM的解析式为y=kx+b．
∵将点B、G的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-3}\\{2k+b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{1}{3}$，b=-2．
∴直线BM的解析式为y=-$\frac{1}{3}x$-2．
如图2所示：MB与x交点记为G．

BD=AD-AB=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．
∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，
∴△FBD∽△AOD．
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{DG}{AD}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{DG}{4\sqrt{2}}$，解得DG=4．
∴点G的坐标为（2，0）．
设直线BM的解析式为y=kx+b．
∵将点B和点G的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=-3}\end{array}\right.$，解得k=-3，b=6．
∴直线BM的解析式为y=-3x+6．
综上所述，直线MB的解析式为y=$-\frac{1}{3}$x-2或y=-3x+6．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间的距离公式、相似三角形的性质和判定，证得△FBD∽△AOD、△GBA∽△AOD，然后由相似三角形的性质求得MB与AF的交点坐标以及MB与x轴的交点坐标是解题的关键．