Question

已知A₁，A₃是抛物线y=x²上两点，A₁B₁，A₃B₃分别垂直于x轴，垂足分别为B₁，B₃，点C是线段A₁A₃的中点，过点C作CB₂垂直于x轴，垂足为B₂，CB₂交抛物线于点A₂．

（1）如图1，已知A₁，A₃两点的横坐标依次为1，3，求线段CA₂的长；
（2）如图2，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²﹣x+1，且A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c（a＞0），A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA₂的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．

Answer 1

解：（1）∵A₁，A₃的横坐标依次为1，3，
∴A₁B₁=×1²=，A₃B₃=×3²=，
由已知可得A₁B₁∥CB₂∥A₃B₃．
又∵C为A₁A₃的中点，
∴B₂为B₁B₃的中点，
∴B₂点的横坐标为2，
∴A₂B₂=×2²=2，
而CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）
=（+）+
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=﹣2=；
（2）设A₁，A₂，A₃三点的横坐标依次为n﹣1，n，n+1，
则A₁B₁=（n﹣1）²﹣（n﹣1）+1，A₂B₂=n²﹣n+1，
A₃B₃=（n+1）²﹣（n+1）+1，
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃∥AB₂，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）
=[（n﹣1）²﹣（n﹣1）+1+（n+1）²﹣（n+1）+1]
=n²﹣n+，
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=n²﹣n+﹣（n²﹣n+1）=；
（3）当a＞0时，CA₂=a．