题目内容

已知A，A是抛物线y=
1
2
x2上两点，A1B1，A3B3分别垂直于x轴，垂足分别为B1，B3，点C是线段A1A3的中点，过点C作CB2垂直于x轴，垂足为B2，CB2交抛物线于点A2．
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（1）如图1，已知A1，A3两点的横坐标依次为1，3，求线段CA2的长；
（2）如图2，若将抛物线y=
1
2
x2改为抛物线y=
1
2
x2-x+1，且A1，A2，A3三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA2的长；
（3）若将抛物线y=
1
2
x2改为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0），A1，A2，A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA2的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．
分析：（1）本题都要先根据B1，B2，B3的横坐标来确定B2的横坐标（DB2是梯形A1B1B3A3的中位线，B2是B1B3的中点），
（2）根据B1，B2，B3的横坐标得出A1，A2，A3的纵坐标，进而可根据CA2=
A1B1+A3B3
2
-A2B2，也就是A3A1纵坐标的差的绝对值的一半减去A2的纵坐标．由此可求出CA2的长．
解答：解：（1）∵A1，A3的横坐标依次为1，3，
∴A1B1=
1
2
×12=
1
2
，A3B3=
1
2
×32=
9
2
，
由已知可得A1B1∥CB2∥A3B3．
又∵C为A1A3的中点，
∴B2为B1B3的中点，
∴B2点的横坐标为2，
∴A2B2=
1
2
×22=2，
而CB2=
1
2
（A1B1+A3B3）
=
1
2
（
1
2
+
9
2
）+
5
2

∴CA2=CB2-A2B2=
5
2
-2
=
1
2
．

（2）设A1，A2，A3三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
则A1B1=
1
2
（n-1）2-（n-1）+1，A2B2=
1
2
n2-n+1，
A3B3=
1
2
（n+1）2-（n+1）+1，
由已知可得A1B1∥A3B3∥AB2，
∴CB2=
1
2
（A1B1+A3B3）
=
1
2
[
1
2
（n-1）2-（n-1）+1+
1
2
（n+1）2-（n+1）+1]
=
1
2
n2-n+
3
2
，
∴CA2=CB2-A2B2=
1
2
n2-n+
3
2
-（
1
2
n2-n+1）=
1
2
．

（3）当a＞0时，CA2=a．
点评：本题主要考查了中位线和二次函数的相关知识，根据中位线确定B2的坐标，进而得出A2点的纵坐标是解题的关键
练习册系列答案
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4、已知A、B是抛物线y=x2-4x+3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是
（1，0）或（3，0）
（写出一对即可）．
已知x1、x2是抛物线y=x2-2（m-1）x+m2-7与x轴的两个交点的横坐标，且x12+x22=10．
求：（1）x1、x2的值；
（2）抛物线的顶点坐标．
精英家教网如图，已知直线x=-1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、②a-b+c、③a+b+c、④2a-b、⑤3a-b，其中是负数的有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
已知A、B是抛物线y=x2+2x-1上的两点（A在B的左侧），且AB与x轴平行，AB=4，则点A的坐标为
 
．

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