题目内容
已知A，A是抛物线y=
x2上两点，A1B1，A3B3分别垂直于x轴，垂足分别为B1，B3，点C是线段A1A3的中点，过点C作CB2垂直于x轴，垂足为B2，CB2交抛物线于点A2．
（1）如图1，已知A1，A3两点的横坐标依次为1，3，求线段CA2的长；
（2）如图2，若将抛物线y=
x2改为抛物线y=
x2-x+1，且A1，A2，A3三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线y=
x2改为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0），A1，A2，A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA2的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．
【答案】分析：（1）本题都要先根据B1，B2，B3的横坐标来确定B2的横坐标（DB2是梯形A1B1B3A3的中位线，B2是B1B3的中点），
（2）根据B1，B2，B3的横坐标得出A1，A2，A3的纵坐标，进而可根据CA2=
-A2B2，也就是A3A1纵坐标的差的绝对值的一半减去A2的纵坐标．由此可求出CA2的长．
解答：解：（1）∵A1，A3的横坐标依次为1，3，
∴A1B1=
×12=
，A3B3=
×32=
，
由已知可得A1B1∥CB2∥A3B3．
又∵C为A1A3的中点，
∴B2为B1B3的中点，
∴B2点的横坐标为2，
∴A2B2=
×22=2，
而CB2=
（A1B1+A3B3）
=
（
+
）+
∴CA2=CB2-A2B2=
-2
=
．
（2）设A1，A2，A3三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
则A1B1=
（n-1）2-（n-1）+1，A2B2=
n2-n+1，
A3B3=
（n+1）2-（n+1）+1，
由已知可得A1B1∥A3B3∥AB2，
∴CB2=
（A1B1+A3B3）
=
[
（n-1）2-（n-1）+1+
（n+1）2-（n+1）+1]
=
n2-n+
，
∴CA2=CB2-A2B2=
n2-n+
-（
n2-n+1）=
．
（3）当a＞0时，CA2=a．
点评：本题主要考查了中位线和二次函数的相关知识，根据中位线确定B2的坐标，进而得出A2点的纵坐标是解题的关键
（2）根据B1，B2，B3的横坐标得出A1，A2，A3的纵坐标，进而可根据CA2=
-A2B2，也就是A3A1纵坐标的差的绝对值的一半减去A2的纵坐标．由此可求出CA2的长．解答：解：（1）∵A1，A3的横坐标依次为1，3，
∴A1B1=
×12=
，A3B3=
×32=
，由已知可得A1B1∥CB2∥A3B3．
又∵C为A1A3的中点，
∴B2为B1B3的中点，
∴B2点的横坐标为2，
∴A2B2=
×22=2，而CB2=
（A1B1+A3B3）=
（
+
）+
∴CA2=CB2-A2B2=
-2=
．（2）设A1，A2，A3三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
则A1B1=
（n-1）2-（n-1）+1，A2B2=
n2-n+1，A3B3=
（n+1）2-（n+1）+1，由已知可得A1B1∥A3B3∥AB2，
∴CB2=
（A1B1+A3B3）=
[
（n-1）2-（n-1）+1+
（n+1）2-（n+1）+1]=
n2-n+
，∴CA2=CB2-A2B2=
n2-n+
-（
n2-n+1）=
．（3）当a＞0时，CA2=a．
点评：本题主要考查了中位线和二次函数的相关知识，根据中位线确定B2的坐标，进而得出A2点的纵坐标是解题的关键
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