题目内容

已知A，A是抛物线y= $数学公式$ x²上两点，A₁B₁，A₃B₃分别垂直于x轴，垂足分别为B₁，B₃，点C是线段A₁A₃的中点，过点C作CB₂垂直于x轴，垂足为B₂，CB₂交抛物线于点A₂．

（1）如图1，已知A₁，A₃两点的横坐标依次为1，3，求线段CA₂的长；
（2）如图2，若将抛物线y= $数学公式$ x²改为抛物线y= $数学公式$ x²-x+1，且A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y= $数学公式$ x²改为抛物线y=ax²+bx+c（a＞0），A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA₂的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．

解：（1）∵A₁，A₃的横坐标依次为1，3，
∴A₁B₁= $\text{[math]}$ ×1²= $\text{[math]}$ ，A₃B₃= $\text{[math]}$ ×3²= $\text{[math]}$ ，
由已知可得A₁B₁∥CB₂∥A₃B₃．
又∵C为A₁A₃的中点，
∴B₂为B₁B₃的中点，
∴B₂点的横坐标为2，
∴A₂B₂= $\text{[math]}$ ×2²=2，
而CB₂= $\text{[math]}$ （A₁B₁+A₃B₃）
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
∴CA₂=CB₂-A₂B₂= $\text{[math]}$ -2
= $\text{[math]}$ ．

（2）设A₁，A₂，A₃三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
则A₁B₁= $\text{[math]}$ （n-1）²-（n-1）+1，A₂B₂= $\text{[math]}$ n²-n+1，
A₃B₃= $\text{[math]}$ （n+1）²-（n+1）+1，
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃∥AB₂，
∴CB₂= $\text{[math]}$ （A₁B₁+A₃B₃）
= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ （n-1）²-（n-1）+1+ $\text{[math]}$ （n+1）²-（n+1）+1]
= $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$ ，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂= $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ n²-n+1）= $\text{[math]}$ ．

（3）当a＞0时，CA₂=a．
分析：（1）本题都要先根据B₁，B₂，B₃的横坐标来确定B₂的横坐标（DB₂是梯形A₁B₁B₃A₃的中位线，B₂是B₁B₃的中点），
（2）根据B₁，B₂，B₃的横坐标得出A₁，A₂，A₃的纵坐标，进而可根据CA₂= $\text{[math]}$ -A₂B₂，也就是A₃A₁纵坐标的差的绝对值的一半减去A₂的纵坐标．由此可求出CA₂的长．
点评：本题主要考查了中位线和二次函数的相关知识，根据中位线确定B₂的坐标，进而得出A₂点的纵坐标是解题的关键