Question

【题目】如图，，分别与相切于点和点，点为弧上一点，连接并延长交于点，为弧上的一点，连接交于点，连接，且．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接，若，求证：平分；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接、，由切线的性质可得，由四边形内角和是，得，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到，等量代换得到，由同位角相等两直线平行，得到；

（2）过点做交延长线于点，由得，从而，由切线的性质，得，由，，得，从而，进而，即可证得由此，得到，即可证得平分；

（3）连接并延长交圆于点，连接、、、、，由，，可得，由、为半径，可得，即可证出，由直径所对的圆周角是直角，可得，在中，由正弦定义可得，由此，由为正方形，对角线垂直平分，从而，.在中，.延长交于，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.

（1）连接、

∵、与圆相切于点、，且、为半径，

∴，，

∴，

∴在四边形中，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

（2）过点做交延长线于点

∵，

∴，

∴，

∵、为圆的切线，

∴，

∵，，

∴ ，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴平分；

（3）连接并延长交圆于点，连接、、、、

∵，，

∴，

∵、为半径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵为圆的直径，

∴，

∵弧弧，

∴，

在中，，，则，

∴，

由题易证四边形为正方形，

∴对角线垂直平分，，

∵在上，

∴，

在中，，

延长交于，

∵，可证，，

∴，，

∴在中，

在中，

∵，

∴

∴．