Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点的圆的圆心恰好在轴上，⊙与里面相交于另一点．

（1）求证：是⊙的切线 ；

（2）若点的坐标分别为，求⊙的半径及线段的长；

（3）试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），；（3），理由详见解析．

【解析】

（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；

（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证∽，求出BF的长，再证∽，即可求出AC的长；

（3）过点作于点，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．

（1）如图，连接，

∵平分，

，

，

，

，

，

，

又为⊙上一点，

是⊙的切线；

（2）如图，连接，

设⊙的半径为，

∵点的坐标分别为，

，

，

在中，由勾股定理得，，

，

解得，

即⊙的半径为，

，

，

，

∴∽，

，即，

，

，

，

∴∽，

，即，

（3）．理由如下：

如图，过点作于点，则∠FRC=90°，

∵∠FEC=∠C=90°，

∴四边形为矩形，

，

，

，

，

．