Question

6．如图，已知AB⊥CB，垂足为B，CG⊥BC，垂足为C，∠BAH=∠GCF=30°，AD平分∠BAF，AE平分∠BAG．
（1）求∠EAG的度数；
（2）求证：HG∥CF；
（3）试判断∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平角的定义和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据已知条件得到AB∥CG，由平行线的性质得到∠AGC=∠HAB=30°，等量代换得到∠AGC=∠GCF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（3）根据AD平分∠BAF，AE平分∠BAG，得到∠BAE=∠GAE，∠BAD=∠FAD=x+y，于是得到∠GAF=2x=2∠DAE，根据平行线的性质得到∠AFC=∠GAF，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠BAH=30°，
∴∠BAG=180°-30°=150°，
∵AE平分∠BAG，
∴∠EAG=$\frac{1}{2}∠$BAG=75°；
（2）∵AB⊥CB，垂足为B，CG⊥BC，垂足为C，
∴AB∥CG，
∴∠AGC=∠HAB=30°，
∵∠BAH=∠GCF=30°，
∴∠AGC=∠GCF，
∴HG∥CF；
（3）∠AFC=2∠DAE，
理由：设∠DAE=x，∠EAF=y，
∵AD平分∠BAF，AE平分∠BAG，
∴∠BAE=∠GAE，∠BAD=∠FAD=x+y，
∴x+y+x=y+∠GAF，
∴∠GAF=2x=2∠DAE，
∵HG∥CF，
∴∠AFC=∠GAF，
∴∠AFC=2∠DAE．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．