Question

6．△ABC中，∠BAC=90°，△ACD为等边三角形，已知∠DBC=2∠DBA，求∠DBA．

Answer 1

分析 把△ABD沿AB翻折至△ABE处，以点B为圆心，BD的长为半径作⊙B，延长BC交⊙B于点F，连结DE，DF，根据折叠的性质得到∠ABE=∠ABD，设∠ABE=x，用x表示出∠DCF、∠ACB，根据平角的定义列出方程，解方程即可．

解答 解：如图，把△ABD沿AB翻折至△ABE处，以点B为圆心，
BD的长为半径作⊙B，延长BC交⊙B于点F，连结DE，DF，
由折叠的性质可知：△ABD≌△ABE，
∴∠ABE=∠ABD=x，∠BAE=∠BAD=150°，AE=AD，
∵∠DBC=2∠DBA，∠EAD=60°，
∴∠DBC=∠DBE=2x，AD=AE=DE，
∴DF=DE=AD=DC，
∵BD=BF，
∴∠DCF=∠F=90°-x，
∵∠ABC=3x，∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°-3x，
∴90°-3x+60°+90°-x=180°，
∴x=15°，
即∠DBA=15°．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、翻转变换的性质，掌握翻转变换的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．