Question

4．已知Rt△ABC中，∠AOB=90°，$OA=6\sqrt{3}$，∠OAB=30°，点D在线段AO上，连接BD，如图1，过点D作DE⊥AB 于点E．
（1）F为BD的中点，连接OF、EF，若OD=8，求EF的长．
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转，使D、E、B三点在一条直线上，如图2，过点O作OG⊥OE交BD于点G．
①求$\frac{GB}{AE}$的值；
②若点F为线段BD的中点，$AD=2\sqrt{3}$，直接写出线段OF的长度．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，∠AOB=90°，$OA=6\sqrt{3}$，∠OAB=30°，得到OB=6，AB=12，由勾股定理得到BD=$\sqrt{{OB}^{2}{+OD}^{2}}$=10，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解得结果．
（2）①根据两角对应相等，两三角形相似，证得结论；②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解得结果．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠AOB=90°，$OA=6\sqrt{3}$，∠OAB=30°，
∴OB=6，AB=12，
在R_t△OBD中，∵OD=8，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}{+OD}^{2}}$=10，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=5；

（2）①∵∠AOB=90°，
∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∴∠AOB-∠AOG=∠EOG-∠AOG，
∴∠AOE=∠BOG，
∵∠AEG+∠OEG=∠EOG+∠OEG，
∴∠AEO=∠OGB，
∴△AEO∽△OGB，
∴$\frac{BG}{AE}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②在R_t△ADE中，∵∠DAE=30°，AD=2$\sqrt{3}$，
∴AE=3，DE=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{BG}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴BG=$\sqrt{3}$，
∴DE=BG，
∵点F为线段BD的中点，
∴点F为线段EG的中点，
在R_t△AEB中，
BE=$\sqrt{{AB}^{2}{-AE}^{2}}$=3$\sqrt{15}$，
∴EG=3$\sqrt{15}$-$\sqrt{3}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{3\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．