Question

13．两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等．则：
①若斜边上的高对应相等．那么这两个直角三角形全等；
②若直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；
③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等．
其中正确命题的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先画出图形，然后根据判定定理利用AAS、HL、ASA、SAS进行证明即可．

解答 解：如图所示：△ABC和△A′B′C′中，∠ABC=∠A′B′C′=90°，BC=B′C′，
①∵BD、B′D′为高，
∴∠BDC=∠B′D′C′=90°，
在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中$\left\{\begin{array}{l}{BC=B′C′}\\{BD=B′D′}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′（HL），
∴∠C=∠C′，
在Rt△BAC和Rt△B′A′C′中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠C′}\\{BC=B′C′}\\{∠ABC=∠A′B′C′}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAC≌Rt△B′A′C′（ASA），故①正确；

②∵BE平分∠ABC，B′E′平分∠A′B′C′，
∴∠EBC=∠E′B′C′，
在Rt△BEC和Rt△B′E′C′中$\left\{\begin{array}{l}{BE=B′E′}\\{∠EBC=∠E′B′C′}\\{BC=B′C′}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△B′D′C′（ASA），
∴∠C=∠C′，
在Rt△BAC和Rt△B′A′C′中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠C′}\\{BC=B′C′}\\{∠ABC=∠A′B′C′}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAC≌Rt△B′A′C′（ASA），故②正确；

③∵BF、B′F′为中线，
∴BF=$\frac{1}{2}$AC，B′F′=$\frac{1}{2}$A′C′，
∵BF=B′F′，
∴AC=A′C′，
在Rt△BAC和Rt△B′A′C′中$\left\{\begin{array}{l}{AC=A′C′}\\{BC=B′C′}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAC≌Rt△B′A′C′（HL），故③正确；

④在△BAC和△B′A′C′中$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A′}\\{∠ABC=∠A′B′C′}\\{BC=B′C′}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△B′A′C′（AAS），故④正确，
故选：D．

点评 本题考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握直角三角形的判定方法．