Question

如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是_________；
②∠CAO=_________；
③当点Q与点A重合时，点P的坐标为_________；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），
∴点B的坐标为：（6，2）；
②∵tan∠CAO===，
∴∠CAO=30°；
③如下图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），
∴PE=3，
∴AE==3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3）
故答案为：①（6，2），②30，③（3，3）；
（2）情况①：MN=AN=3，
则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°，∴∠PQO=60°，即∠MQO=60°，
∴点N与Q重合，∴点P与D重合，∴此时m=0，

情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；
MJ=MQsin60°=AQsin60°=（OA﹣IQ﹣OI）sin60°=（3﹣m）=AM=AN=，
可得（3﹣m）=，解得：m=3﹣，

情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=，
∴QK===3，GQ==，
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5，
∴OK=2，∴m=2，

（3）当0≤x≤3时， 如图，OI=x，IQ=PItan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得，
EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
S_梯形=（EF+OQ）OC=（3+x），

当3＜x≤5时，S=S_梯形﹣S_△HAQ=S_梯形﹣AH﹒AQ=（3+x）﹣（x﹣3）²，

当5＜x≤9时，S=（BE+OA）OC=（12﹣x），

当9＜x时，S=OA﹒AH=．