题目内容

如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
4
9
x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=-
4
9
x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
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分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-
4
9
x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m 表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
解答：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-
4
9
x2+bx+c，
c=8
-
4
9
×36+6b+c=0
，
解得
b=
4
3
c=8
，
∴抛物线的解析式为y=-
4
9
x2+
4
3
x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6精英家教网
∴AC=
OA2+OC2
=10，
过点Q作QE⊥BC于E点，则sin∠ACB=
QE
QC
=
AB
AC
=
3
5
，
∴
QE
10-m
=
3
5
，
∴QE=
3
5
（10-m），
∴S=
1
2
•CP•QE=
1
2
m×
3
5
（10-m）=-
3
10
m2+3m=-
3
10
（m-5）2+
15
2
，
∴当m=5时，S取最大值；
②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=-
4
9
x2+
4
3
x+8的对称轴为x=
3
2
，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（
3
2
，8），
当∠FQD=90°时，则F2（
3
2
，4），
当∠DFQ=90°时，设F（
3
2
，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即
9
4
+（8-n）2+
9
4
+（n-4）2=16，
解得：n=6±
7
2
，
∴F3（
3
2
，6+
7
2
），F4（
3
2
，6-
7
2
），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（
3
2
，8），F2（
3
2
，4），F3（
3
2
，6+
7
2
），F4（
3
2
，6-
7
2
）．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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（4，3）
．
（2013•宛城区一模）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
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x2+bx+c经过A，C两点，与AB边交于点D．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
（1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值；
（2）当S最大时，从以下①，②中任选一题作答，若两题都做只以第①题计分．
①在抛物线y=-
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x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．
②在坐标平面内，是否存在点F，使以C，P，Q，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．
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