题目内容

（2013•宛城区一模）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
4
9
x2+bx+c经过A，C两点，与AB边交于点D．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
（1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值；
（2）当S最大时，从以下①，②中任选一题作答，若两题都做只以第①题计分．
①在抛物线y=-
4
9
x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．
②在坐标平面内，是否存在点F，使以C，P，Q，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．
分析：（Ⅰ）将A、C两点坐标代入抛物线，根据待定系数法可求抛物线的解析式
（Ⅱ）（1）根据勾股定理可求AC=10，过点Q作QE⊥BC与E点，根据三角函数和三角形的面积公式可求S关于t的函数表达式，再配方可求S的最大值；
（2）①根据直角三角形的判定和性质，垂径定理可求符合条件的点F的坐标；
②根据平行四边形的判定和性质可得符合条件的点F的坐标．
解答：解：（Ⅰ）将A、C两点坐标代入抛物线y=-
4
9
x2+bx+c，得
c=8
-16+6b+c=0
，
解得
b=
4
3
c=8
．
故抛物线的解析式为y=-
4
9
x2+
4
3
x+8．

（Ⅱ）（1）∵OA=8，OC=6，
∴AC=
OA2+OC2
=10，
过点Q作QE⊥BC与E点，
则sin∠ACB=
QE
QC
=
AB
AC
=
3
5
，
∴QE=
3
5
（10-t），
∴S=
1
2
CP•QE=
1
2
t•
3
5
（10-t）=-
3
10
t2+3t． 
∵-
3
10
t2+3t=-
3
10
（t-5）2+
15
2
，
∴当t=5时，S取最大值
15
2
．

①在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，满足条件的点F共有四个，
坐标分别为F1（
3
2
，8），F2（
3
2
，4），F3（
3
2
，6+
7
2
），F4（
3
2
，6-
7
2
）．

②在坐标平面内存在点F，使以C、P、Q、F为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的点F共有三个，
坐标分别为F1（3，9），F2（3，-1），F3（9，1）．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数表达式，勾股定理，三角函数和三角形的面积，函数的最值，直角三角形的判定和性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
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12
-4sin60°+（-
1
3
）0=
0
0
．

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