Question

如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，∠1=∠2，EF⊥BC，FM⊥AC，说明FM=FD的理由．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：先证明四边形AGFE是菱形，再证明△DFG≌△MFE，即可得出结论．

解答：证明：如图所示：连接FG，
∵∠C+DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AGE=∠BAD+∠ABE，∠AEG=∠C+∠CBE，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE；
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=EF=AG，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∵AG=EF，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∵AG=AE，
∴四边形AEFG是菱形，
∴GF∥AC，GF=EF，
∴∠DFG=∠C，
∵EF⊥BC，FM⊥AC，
∴∠C+∠FEC=90°，
∠FEC+∠EFM=90°，
∴∠C=∠EFM，
∴∠DFG=∠EFM，
在△DFG和△MFE中，

∠GDF=∠EMF=90°   ∠DFG=∠EFM   GF═EF

 
∴△DFG≌△MFE（AAS），
∴FD=FM．

点评：本题考查了菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质；证明角相等和全等三角形是解决问题的关键．