Question

【题目】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE.

(1)如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：EC+CD=DF；

(2)如图2,连接BF交AC于G点,若 =3，求证：E点为BC中点；

(3)当E点在射线CB上,连接BF与直线AC交于G点,若,则=_______

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析；（3）.

【解析】

（1）通过全等三角形△ADF≌△EDA的对应边相等得到：AD=CD，FD=AC，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；

（2）过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据（1）中结论可得FD=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CG，根据=3可证，根据AD=CE，AC=BC，即可解题；（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解题．

证明：（1）如图1，∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△ADF和△ECA中， ，

∴△ADF≌△ECA（AAS），

∴AD=CD，FD=AC，

∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；

证明：（2）如图2，

过F点作FD⊥AC交AC于D点，

∵△ADF≌△ECA，

∴FD=AC=BC，

在△FDG和△BCG中， ，

∴△FDG≌△BCG（AAS），

∴GD=CG，

∵ =3

∴

∴，

∵AD=CE，AC=BC

∴ ，

∴E点为BC中点；

（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3，

∵ ，BC=AC，CE=CB+BE，

∴，

由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE，

∴ ，

∴ ．