Question

（2012•绥化）如图，二次函数y=ax²-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S_△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．

解答：解：（1）由已知条件得

c=0 a×(-4)2-4×(-4)+c=0

，
解得

a=-1 c=0

，
所以，此二次函数的解析式为y=-x²-4x；

（2）∵点A的坐标为（-4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S_△AOP=

1

2

×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，-x²-4x=4，
解得x=-2，
所以，点P的坐标为（-2，4），
②当点P在x轴下方时，-x²-4x=-4，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
所以，点P的坐标为（-2+2

2

，-4）或（-2-2

2

，-4），
综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2

2

，-4）、（-2-2

2

，-4）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．