Question

19．如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△BAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC=90°，求$\frac{BC}{AC}$的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）．如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．

Answer 1

分析 （1）根据△HAC与△DCB都是等边三角形，可得∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，进而得出∠HDC=180°-∠DHC-∠HCD=30°，得出CD=2CH，即可得到BC=2AC，最后求得$\frac{BC}{AC}$的值；
（2）先由对称性得∠EHD=90°，EH=HC，根据E，H，C三点共线，以及三角形外角性质，得出∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，由（1）可得BC=2CH=EC，得出∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ACE=30°，即可得出CE平分∠AEB；
（3）由对称性可知：HC=HE，进而得出A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，据此得到∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，而同理可得，∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，最后得出EC平分∠AEB．

解答 解：（1）∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，
∴∠HCD=180°-∠ACH-∠DCB=60°，
∵∠DHC=90°，
∴∠HDC=180°-∠DHC-∠HCD=30°，
∴CD=2CH，
∴BC=2AC，
∴$\frac{BC}{AC}$=2；

（2）如图1，由对称性得∠EHD=90°，EH=HC，
∵AH=HC，
∴EH=AH，
∵∠DHC=90°，
∴E，H，C三点共线，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，
由（1）可得BC=2CH=EC，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ACE=30°，
∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）结论仍然正确，理由如下：
如图2，由对称性可知：HC=HE，
又∵AH=HC，
∴HC=HA=HE，
∵A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，
同理可得，∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，
∴∠AEC=∠BEC，
∴EC平分∠AEB．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，圆周角定理以及轴对称的性质的综合应用，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；解题的关键是运用等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．