题目内容
【题目】如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4
，∠ACB＝45°
（1）计算：求BC的长；
（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．
①求∠CC1A1的度数；
②求四边形A1BCC1的面积；
（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【答案】（1）BC＝7（2）①∠CC1A＝90°；②
；（3）①最小值为
﹣
；最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝
．
【解析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，CH，BH即可解决问题．
（2）①利用旋转的性质解决问题即可．
②根据
＝
计算即可．
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．
解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵∠C＝45°，AC＝4
，∠AHC＝90°，
∴AH＝CH＝4，
∵AB＝5，AH＝4，
∴BH＝
＝3，
∴BC＝BH+CH＝3+4＝7．
（2）①如图2中，
∵BC＝BC1，
∴∠BC1C＝∠C＝45°，
∵∠A1C1B＝∠C＝45°，
∴∠CC1A＝45°+45°＝90°．
②＝＝
×7×4+×7×7＝．
（3）①如图3，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．
