Question

15．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若tan∠BAC=$\frac{3}{2}$，菱形OCED的面积为12，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=4，即可判定四边形CODE是菱形；
（2）利用矩形和菱形的性质易得OM=$\frac{1}{2}OE$，CM=$\frac{1}{2}$CD，OM=$\frac{1}{2}$BC，再利用菱形的面积公式得OM，求得OC．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴OD=OC，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形；

（2）解：连接OE，
∵四边形CODE是菱形，
∴OE⊥CD，OM=$\frac{1}{2}OE$，CM=$\frac{1}{2}$CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC，
∵tan∠BAC=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠OCM=$\frac{OM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，
设OM=3x，则CM=2x，
∵菱形OCED的面积为12，
∴6x•4x=12，
∴x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去），
∴OM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BC=3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定，利用菱形的面积等于两对角线的乘积是解答此题的关键．