Question

20．如图，AC=BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE=$\frac{1}{2}$AB．
（1）求证：四边形CDBE是矩形．
（2）若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，D为AB中点，利用三线合一得到DB等于AB的一半，且CD与DB垂直，根据CE等于AB的一半，等量代换得到DB=CE，由CE与AB平行，得到四边形CDBE为平行四边形，根据CD与DB垂直即可得证；
（2）在直角三角形CDB中，由BC与CD的长，利用勾股定理求出BD的长，根据DF与BC垂直，得到DF•BC=CD•BD，即可求出DF的长．

解答 （1）证明：∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∵D是AB中点，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥DB，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DB=CE，
∵CE∥AB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
又∵CD⊥DB，
∴四边形CDBE是矩形；
（2）解：在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CB=AC=5，CD=3，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∵DF⊥BC于F，
∴DF•BC=CD•BD，
解得：DF=$\frac{12}{5}$．

点评 此题考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．