Question

7．若$\sqrt{x}$=$\sqrt{a}$-$\frac{2}{\sqrt{a}}$（a＞0），则$\frac{x+4+\sqrt{{x}^{2}+8x}}{x+4-\sqrt{{x}^{2}+8x}}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据二次根式值分非负性可得a的范围，将已知等式两边平方可得x+4=a+$\frac{4}{a}$，将其代入原式，通过变形即可得其值．

解答 解：∵$\sqrt{x}$=$\sqrt{a}$-$\frac{2}{\sqrt{a}}$，
∴$\sqrt{a}$-$\frac{2}{\sqrt{a}}$≥0，
解得：a≥2，
将$\sqrt{x}$=$\sqrt{a}$-$\frac{2}{\sqrt{a}}$两边平方可得，x=a-4+$\frac{4}{a}$，
∴x+4=a+$\frac{4}{a}$，
∴原式=$\frac{a+\frac{4}{a}+\sqrt{（x+4）^{2}-16}}{a+\frac{4}{a}-\sqrt{（x+4）^{2}-16}}$
=$\frac{a+\frac{4}{a}+\sqrt{（a+\frac{4}{a}）^{2}-16}}{a+\frac{4}{a}-\sqrt{（a+\frac{4}{a}）^{2}-16}}$
=$\frac{a+\frac{4}{a}+\sqrt{（a-\frac{4}{a}）^{2}}}{a+\frac{4}{a}-\sqrt{（a-\frac{4}{a}）^{2}}}$
=$\frac{a+\frac{4}{a}+a-\frac{4}{a}}{a+\frac{4}{a}-a+\frac{4}{a}}$
=$\frac{2a}{\frac{8}{a}}$
=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{{a}^{2}}{4}$．

点评 本题主要考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．