Question

11．计算：$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+2015）（x+2016）}$，并求当x=1时，该代数式的值．

Answer 1

分析 先利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把各分式展开，然后合并即可得到原式=$\frac{2016}{x（x+2016）}$，然后把x=1代入计算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2015}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{x+2016-x}{x（x+2016）}$
=$\frac{2016}{x（x+2016）}$，
当x=1时，原式=$\frac{2016}{1×（1+2016）}$=$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．