Question

7．一块直角三角形余料，直角边BC=80cm，AC=60cm，现在要最大限度地利用这块余料，把它加工成为一个正方形，求这个正方形的周长．

Answer 1

分析 当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则CD=DE=x，AD=AC-CD=60-x，先证明△ADE∽△ACB，于是可利用相似比求得x=$\frac{240}{7}$cm，进而可得出其周长；
当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CM⊥AB于M，交CD于N，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用面积法计算出CM=48cm，设正方形DEFG边长为x，则DG=MN=x，CN=48-x，接着证明△CDG∽△CAB，则可利用相似比计算出x的值，进而可得出其周长．

解答 解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为xcm，则CD=DE=x，AD=AC-CD=60-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{60-x}{60}$=$\frac{x}{80}$，即得x=$\frac{240}{7}$，
∴正方形CDEF周长=4×$\frac{240}{7}$=$\frac{960}{7}$cm；
当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CM⊥AB于M，交CD于N，
AB=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CM=$\frac{60×80}{100}$=48cm，
设正方形DEFG边长为xcm，则DG=MN=x，CN=48-x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{x}{100}$=$\frac{48-x}{48}$，解得x=$\frac{1200}{37}$，
∴正方形CDEF周长=4×$\frac{1200}{37}$=$\frac{4800}{37}$cm．
综上所述，这个正方形的周长是$\frac{960}{7}$cm或$\frac{4800}{37}$cm．

点评 本题考查了相似三角形的应用，先证明三角形相似，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长，也考查了正方形的性质．