Question

15．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．
（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．
（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？
（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形和长方形的周长公式及面积公式分别进行计算，然后比较即可得出答案；
（2）设向东延长了x米，根据长方形的面积公式列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据正方形的面积公式和边长之间的关系，即可得出答案．

解答 解：（1）小明的说法不对．
∵正方形的周长：4a，
∴正方形的面积：a²，
长方形的周长：2（a-1）+2（a+1）=4a，
长方形的面积：（a-1）（a+1）=a²-1，
∴周长相等，面积缩小了．

（2）设向东延长了x米，
（5-1）（5+x）=25，
x=1.25米，
则向东延长了1.25米．

（3）∵正方形的花坛边长是a米，南北方向需要缩短1米，
∴改造后长方形的长是$\frac{{a}^{2}}{a-1}$．

点评 此题考查了列代数式，用到的知识点是长方形的面积公式、正方形的面积公式以及周长公式，根据题意分别求出改造后长方形的长、宽，列出面积的表达式是本题的关键．