对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C.给出如下定义:若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A.B两点.在P.A.B三点中.位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时.则称点P为⊙C 的相邻点.直线l为⊙C关于点P的相邻线．(1)当⊙O的半径为1时.①分别判断在点D($\frac{1}{2}$.$\frac{1}{4}$).E中.是⊙O的相邻点有D或E,②请从①中的答案中.任选一个相邻� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断在点D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），E（0，-$\sqrt{3}$），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有D或E；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；
③点P在直线y=-x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

分析（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB²=PC²-1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断．求出直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标分别为（0，3）和（3，0），根据（1）问中结论可知，P的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；
（2）根据（1）问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围．

解答解：（1）由定义可知，
当点P在⊙C内时，
由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，
此时，0≤PC＜1；
当点P在⊙C外时，
设点A是PB的中点，
连接PC交⊙C于点M，
延长PC交⊙C于点N，
连接AM，BN，
∵∠AMP+∠NMA=180°，
∠B+∠NMA=180°，
∴∠AMP=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△AMP∽△NBP，
∴$\frac{PA}{PM}$=$\frac{PN}{PB}$，
∴PA•PB=PM•PN，
∵点A是PB的中点，
∴AB=PA，
又∵⊙C的半径为1，
∴2AB²=（PC-CM）（PC+CN），
∴2AB²=PC²-1，
又∵AB是⊙C的弦，
∴AB≤2，
∴2AB²≤8，
∴PC²-1≤8，
∴PC²≤9，
∴PC≤3，
∵点P在⊙C外，
∴PC＞1，
∴1＜PC≤3，
当点P在⊙C上时，
此时PC=1，但不符合题意，
综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C的相邻点；
①∵D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴DO=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∵E（0，-$\sqrt{3}$），
∴OE=$\sqrt{3}$，
∵F（4，0），
∴OF=4，
∴D和E是⊙O的相邻点；

②连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点；

③令x=0代入y=-x+3，
∴y=3，
令y=0代入y=-x+3，
∴x=3，
∴y=-x+3与坐标轴的交点为（0，3）和（3，0）
∵由于点P在直线y=-x+3上，且点P是⊙O的相邻点，
∴0≤PO≤3，且PO≠1
又∵点P在⊙O外，
∴1＜PO≤3，
∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；

（2）令x=0代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴y=2$\sqrt{3}$，
∴N（0，2$\sqrt{3}$），
令y=0代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴x=6，
∴M（6，0），
∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，
∴0≤PC≤3且PC≠1，
∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，
∵点C在x轴上，
∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．