Question

14．已知关于x的方程ax²+（a-3）x-3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）分a=0，得出一元一次方程，得出方程的解；a≠0，得出原方程为一元二次方程，再根据△=（a+3）²即可得出方程总有两个实数根；
（2）先求出原方程的解是x₁=-1，x₂=$\frac{3}{a}$，再根据此方程有两个负整数根，且a为整数，得出a=-1或-3，最后根据x₁≠x₂得出答案即可．

解答 解：（1）①当a=0，方程为-3x-3=0，解得x=-1；
 ②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时
△=（a-3）²-4a×（-3）=（a+3）²，
∵（a+3）²≥0，
∴此方程总有两个实数根．
故原方程总有实数根．
（2）解原方程，得x₁=-1，x₂=$\frac{3}{a}$，
∵此方程有两个负整数根，且a为整数，
∴a=-1或-3，
∵x₁≠x₂，
∴a≠3，
∴a=-1．

点评 此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．