Question

10．如图所示，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若BC=10，CF=6，∠BFC=90°，求CG的长度．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可证得△BCF≌△DCE；
（2）在Rt△BFC中，求出BF，得出DE，推出DE∥CF，证△DGE∽△CGF，得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCF=∠DCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）解：在△BFC中，BC=10，CF=6，∠BFC=90°，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=8，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，
∴DE∥FC．
∴△DGE∽△CGF，
∴$\frac{DG}{CG}$=$\frac{DE}{CF}$=$\frac{8}{6}$，
∵正方形ABCD中，BC=DC=10，
∴8CG=6（10-CG），
∴CG=$\frac{60}{14}$=$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．