Question

已知n为正整数，二次方程x²+（2n+1）x+n²=0的两根为α_n，β_n，求下式的值：

1

(α3+1)(β3+1)

+

1

(α4+1)(β4+1)

+…+

1

(α20+1)(β20+1)

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：根据根与系数关系得α_n+β_n和α_n•β_n的值；把分母展开代值找规律计算．

解答：解：由韦达定理，有α_n+β_n=-（2n+1），α_nβ_n=n²．
于是，对正整数n≥3，有

1 (αn+1)(βn+1) = 1 αnβn+αn+βn+1 = 1 n2-(2n+1)+1                      = 1 n(n-2) = 1 2 ( 1 n-2 - 1 n )

∴原式=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+…+

1

2

（

1

18

-

1

20

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

19

-

1

20

）
=

531

760

．

点评：此题考查根与系数关系的综合应用，寻找规律是此题的关键，也是难点．